В любом па­рал­ле­ло­грам­ме сумма углов, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не, равна 180°, сле­до­ва­тель­но, угол B равен 180° − 70°  =  110°.

Ответ: г).

В любом па­рал­ле­ло­грам­ме сумма углов, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не, равна 180°, сле­до­ва­тель­но, угол D равен 180° − 50°  =  130°.

Ответ: в).

Пло­щадь ромба равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния длин диа­го­на­лей. Пусть одна часть длины диа­го­на­ли равна x см. Тогда длина мень­шей диа­го­на­ли равна 4x см, а длина боль­шей  — 5x см. Со­ста­вим и решим урав­не­ние пло­ща­ди ромба по дан­ным за­да­чи:

От­бра­сы­вая от­ри­ца­тель­ный ко­рень, по­лу­ча­ем x = 6 см. Зна­чит, длина мень­шей диа­го­на­ли равна 4 · 6 = 24 см.

Ответ: 24 см.

Пло­щадь ромба равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния длин диа­го­на­лей. Пусть одна часть длины диа­го­на­ли равна x см. Тогда длина мень­шей диа­го­на­ли равна 4x см, а длина боль­шей  — 5x см. Со­ста­вим и решим урав­не­ние пло­ща­ди ромба по дан­ным за­да­чи:

От­бра­сы­вая от­ри­ца­тель­ный ко­рень, по­лу­ча­ем x = 8 см. Зна­чит, длина боль­шей диа­го­на­ли равна 5 · 8= 40 см.

Ответ: 40 см.

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Так как сто­ро­ны ромба равны, тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный, а зна­чит, его вы­со­та, коей яв­ля­ет­ся BO, по свой­ству диа­го­на­лей ромба, также ещё и ме­ди­а­на и бис­сек­три­са. Тогда угол ABO равен 60°, угол OAB равен 90° − 60°  =  30°. По свой­ству угла в 30° в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABO катет BO равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, а зна­чит, AB  =  10. Пе­ри­метр ромба равен

Ответ: 40.

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Так как сто­ро­ны ромба равны, тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный, а зна­чит, его вы­со­та, коей яв­ля­ет­ся BO, по свой­ству диа­го­на­лей ромба, также ещё и ме­ди­а­на и бис­сек­три­са. Тогда угол ABO равен 60°, угол OAB равен 90° − 60°  =  30°. По свой­ству угла в 30° в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABO катет BO равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, а зна­чит, AB  =  8. Пе­ри­метр ромба равен

Ответ: 32.

На ри­сун­ке ABCD  — ромб, AC  — его диа­го­наль, BH  — вы­со­та (см. рис).

Так как диа­го­на­ли ромба яв­ля­ют­ся бис­сек­три­са­ми его углов, в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABH (BH  — вы­со­та) AM яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой.

По­сколь­ку бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка делит сто­ро­ну, на ко­то­рую па­да­ет, в таком же от­но­ше­нии, в каком на­хо­дят­ся две дру­гие сто­ро­ны этого тре­уголь­ни­ка, имеем:

или, ис­хо­дя из того что MB > HM:

При­мем AB как 10x, AH  — как 6x. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ABH:

По­это­му сто­ро­на AB равна 20 см.

Пе­ри­метр ромба равен его сто­ро­не, взя­той 4 раза. Сле­до­ва­тель­но, пе­ри­метр ABCD равен 80 см.

Ответ: 80 см.

На ри­сун­ке ABCD  — ромб, AC  — его диа­го­наль, BH  — вы­со­та (см. рис). Так как диа­го­на­ли ромба яв­ля­ют­ся бис­сек­три­са­ми его углов, в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABH (BH  — вы­со­та) AM яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой. По­сколь­ку бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка делит сто­ро­ну, на ко­то­рую па­да­ет, в таком же от­но­ше­нии, в каком на­хо­дят­ся две дру­гие сто­ро­ны этого тре­уголь­ни­ка, имеем:

или, ис­хо­дя из того что MB > HM:

При­мем AB как 25x, AH  — как 15x. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ABH:

По­это­му сто­ро­на AB равна 50 см. Пе­ри­метр ромба равен его сто­ро­не, взя­той 4 раза. Сле­до­ва­тель­но, пе­ри­метр ABCD равен 200 см.

Ответ: 200 см.

Зная, что у пря­мо­уголь­ни­ка диа­го­на­ли равны и точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, видим, что

 см. (см. рис.).

Тогда видно, что тре­уголь­ник AOD − рав­но­бед­рен­ный. Зна­чит, Так как и   — смеж­ные углы, Про­ве­дем те­перь AH пер­пен­ди­ку­ляр­но BD  — это и есть ис­ко­мое рас­сто­я­ние(см.рис.). Рас­смот­рим те­перь тре­уголь­ник AOH, в нем AH  — катет, ле­жа­щий про­тив угла в то есть рав­ный по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы AO, то есть рав­ный 3.(см.рис.).

Ответ: 3 см.

Зная, что у пря­мо­уголь­ни­ка диа­го­на­ли равны и точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, видим, что см. (см. рис.).

Тогда видно, что тре­уголь­ник BOC − рав­но­бед­рен­ный. Зна­чит, Так как и   — смеж­ные углы, Про­ве­дем те­перь CH пер­пен­ди­ку­ляр­но BD  — это и есть ис­ко­мое рас­сто­я­ние(см.рис.) Рас­смот­рим те­перь тре­уголь­ник COH, в нем CH  — катет, ле­жа­щий про­тив угла в то есть рав­ный по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы CO, то есть рав­ный 4.

Ответ: 4см.

Сто­ро­ны AK и CM па­рал­лель­ны, так яв­ля­ют­ся ча­стя­ми па­рал­лель­ных сто­рон AB и CD со­от­вет­ствен­но па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD. Про­ти­во­ле­жа­щие сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны, а зна­чит, равны и их по­ло­ви­ны, то есть AK  =  CM, тогда AKCM  — па­рал­ле­ло­грамм, так как две его про­ти­во­ле­жа­щие сто­ро­ны AK и CM па­рал­лель­ны и равны.

Сто­ро­ны KB и DM па­рал­лель­ны, так яв­ля­ют­ся ча­стя­ми па­рал­лель­ных сто­рон AB и CD со­от­вет­ствен­но па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD. Про­ти­во­ле­жа­щие сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны, а зна­чит, равны и их по­ло­ви­ны, то есть BK  =  DM, тогда KBMD  — па­рал­ле­ло­грамм, так как две его про­ти­во­ле­жа­щие сто­ро­ны BK и MD па­рал­лель­ны и равны.

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD угол A равен углу C, сто­ро­на AB равна сто­ро­не CD, как про­ти­во­ле­жа­щие углы и сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABK сто­ро­на BK лежит про­тив угла ве­ли­чи­ной 30°, по­это­му она со­став­ля­ет по­ло­ви­ну ги­по­те­ну­зы AB, то есть 4.

Найдём пло­щадь S ис­ход­но­го па­рал­ле­ло­грам­ма:

Ответ: 40 см².

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD угол A равен углу C, сто­ро­на AB равна сто­ро­не CD, как про­ти­во­ле­жа­щие углы и сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABK сто­ро­на BK лежит про­тив угла ве­ли­чи­ной 30°, по­это­му она со­став­ля­ет по­ло­ви­ну ги­по­те­ну­зы AB, то есть 5.

Найдём пло­щадь S ис­ход­но­го па­рал­ле­ло­грам­ма:

Ответ: 60 см².

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди квад­ра­та:

Тогда, зная, что сто­ро­на равна 1,2, по­лу­ча­ем, что S_{квад­ра­та} = 1,2² = 1,44.

Ответ: в

Пло­щадь квад­ра­та равна квад­ра­ту его сто­ро­ны. Зная, что сто­ро­на равна 1,4, по­лу­ча­ем, что

Ответ: а).

За­ме­тим, что S_ABCD = AD · BH и S_ABCD = CD · BK. Тогда AD · BH = CD · BK. Имеем:

14 · 5 = CD ·  7 (см.рис.) см. Тогда

Ответ: 48 см.

За­ме­тим, что S_ABCD = AD · BH и S_ABCD = CD · BK. Тогда AD · BH = CD · BK. Имеем:

9 · 4 = CD · 6 (см.рис.) см. Тогда

Ответ: 30 см.

Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен удво­ен­ной сумме двух его смеж­ных сто­рон, тогда вто­рая сто­ро­ная пря­мо­уголь­ни­ка равна 16. Найдём пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, пе­ре­мно­жив его смеж­ные сто­ро­ны, а затем из­влечём из по­лу­чен­но­го про­из­ве­де­ния ко­рень, чтобы найти сто­ро­ну квад­ра­та с ис­ко­мой пло­ща­дью:

Ответ: 8.

Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен удво­ен­ной сумме двух его смеж­ных сто­рон, тогда вто­рая сто­ро­ная пря­мо­уголь­ни­ка равна 4. Найдём пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, пе­ре­мно­жив его смеж­ные сто­ро­ны, а затем из­влечём из по­лу­чен­но­го про­из­ве­де­ния ко­рень, чтобы найти сто­ро­ну квад­ра­та с ис­ко­мой пло­ща­дью:

Ответ: 6.